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 El cuerpo de los números reales: R

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LaBaracA
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MensajeTema: El cuerpo de los números reales: R   Sáb 04 Abr 2009, 02:19



Todo este maremágnum de números que utilizamos diariamente en mil ocasiones están clasificados. No todos los números son de la misma forma ni tienen la misma utilidad, las clases de números que utilizamos con mayor frecuencia se clasifican de la siguiente forma:



Es una pena, pero en español no he encontrado un gráfico tan claro como el que veis arriba, se entiende perfectamente, en este artículo no veremos los números complejos, sólo los números reales.

N: El conjunto de los números naturales, es el más sencillo, son el 1, 2, 3, 4,…, se representan mediante N. (Aunque el símbolo 0 como cardinal del conjunto vacío apareció por primera vez en Europa en el siglo X, también se acepta como un número elemental por lo intuitivo que es.

La Necesidad de encontrar soluciones de algunas ecuaciones hizo que se buscara tipos distintos de números capaces de dar respuesta a determinados problemas.
Si tomamos como punto de partida números sencillos y vamos construyendo sobre ellos otros más complicados que tengan mejores propiedades, iremos accediendo a los conjuntos siguientes:

Z: Si para cada número natural se crea un opuesto respecto a la suma (número tal, que la suma de ambos de 0), y al conjunto resultante se le añade el 0 (elemento neutro) se obtiene el conjunto de los números enteros, que se representan mediante Z.

Q: Se puede crear el inverso de cada número entero (número tal, que el producto de ambos es 1), excepto el del 0, con la operación de multiplicar y obtener como resultado el conjunto de números racionales, que se representan por Q, son las fracciones. Cualquier fracción tiene un número finito de cifras decimales ó teniendo un número infinito hay un periodo que se repite. (Cuidado 3/0 por ejemplo no sería un número racional).

I: En el proceso de búsqueda de números más complicados, con más y mejores propiedades, encontramos también los que tienen un número infinito de cifras decimales sin que exista un periodo que se repita. Son los números irracionales. El uso de los números irracionales se remonta a los griegos, pero su construcción formal es compleja.

R: Todos los anteriores y éstos forman los números reales. El conjunto de todos los números reales se representa por R.

Cada uno de los conjuntos dados se puede considerar contenido en el siguiente, y es frecuente verlos representados en diagramas de conjuntos como el de la imagen anterior.

Fuente:

Fundamentos de Matemáticas I – Sanz y Torres

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MensajeTema: Re: El cuerpo de los números reales: R   Sáb 04 Abr 2009, 04:08


Gracias por el artículo LaBaracA, ahora lo linkeo con el mío sobre lógica, pero quiero hacer un comentario sobre el número 0.

No creo que sea cierto que se introdujera en europa en el siglo X, yo más bien lo colocaría a principios del siglo IX, gracias al libro Hisab al yabr ua al muqabala, del matemático árabe Al-Juarismi, a su vez gracias a los indios, que fuero los primeros quizás en occidente de tratar al cero como un símbolo más. Clásicamente no se asociaba el cero con un número pues los números naturales se crearon con la finalidad de contar, y si no hay nada no se cuenta, entonces el cero se entendía en la antiguedad con el concepto más de vacíoo de no haber nada que de número. Hay constancia de que los mayas también usaron una cifra para representar al cero al igual que los indios, y no un símbolo "especial" o "auxiliar" cómo hacian los egipcios y otras culturas.

El caso es que, antes del adevenimiento completo de la teoría de conjuntos, es decir, cuándo primaba la teoría de números como base de la formalización de la matemática, el cero no se admitia como número natural por la sencilla razón de que no era un número de conteo, no se puede contar algo que no hay.

Sin embargo, con la llegada de la teoría de conjuntos, se interpretaron los número naturales como aquellos que pudieran ser tamaño de un conjunto. Es decir, yo creo un conjunto, el que menos elementos tenga, y cuento sus elementos, entonces ese conteo constituye el primer número natural, y a partir de ahí a ese conjunto le añado cualquier elemento, sólo uno, y con su tamaño obtengo el segundo número natural, y así sucesivamente. Pues resulta que el conjunto más pequeño que se puede construir en teoría de conjuntos es el conjunto vacío, que tiene 0 elementos, así que el cero es el primer número natural. Sin embargo no puede existir ningún conjunto que tenga una cantidad negativa de elementos, por eso los números negativos no son número naturales.

Esta puntualización era necesaria porque lo que dices sobre el cero, no estoy de acuerdo. Desde luego es un número intuitivo y demás, pero eso no es justificación suficiente para incluirlo como número natural. Y más sabiendo lo escrupulosos que son los matemáticos para tomar estas consideraciones.

Tampoco estoy de acuerdo en que los números irreales se construyan a partir de los racionales. Los reales (conjunto R) son los que se construyen a partir de los racionales (conjunto Q) gracias a las cortaduras de Dedekind, y luego tendríamos que I=R-Q. Así de simple.

Saludos.
Peregring_Lok0ooo0.

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LaBaracA
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MensajeTema: Re: El cuerpo de los números reales: R   Sáb 04 Abr 2009, 05:21

Por partes:

Respecto a la introducción del 0 en Europa, he buscado en internet y me salen muchas respuestas todas distintas Very Happy Very Happy , pero parece claro que alrededor de los siglos IX, X u XI es cuando se introdujo aunque su conocimiento era muy antiguo he leido que apareció por primera vez en Babilonia en el año 2000 a. C., de todos modos es una cuestión menor...


Luego dices:

Pues resulta que el conjunto más pequeño que se puede construir en teoría de conjuntos es el conjunto vacío, que tiene 0 elementos, así que el cero es el primer número natural. Sin embargo no puede existir ningún conjunto que tenga una cantidad negativa de elementos, por eso los números negativos no son número naturales.

Esta puntualización era necesaria porque lo que dices sobre el cero, no estoy de acuerdo. Desde luego es un número intuitivo y demás, pero eso no es justificación suficiente para incluirlo como número natural. Y más sabiendo lo escrupulosos que son los matemáticos para tomar estas consideraciones.


Con la teoría de conjuntos como dices el cero sería el primer número natural, aunque es cierto que algunos no lo incluyen, la información está sacada del libro base del temario de Matemáticas I de una Ingeniería Industrial, está escrito por 4 matemáticos y te aseguro que si no les incluyes el cero en los naturales, te van a crear problemas Very Happy Laughing Smile ...

Luego dices:

Tampoco estoy de acuerdo en que los números irreales se construyan a partir de los racionales. Los reales (conjunto R) son los que se construyen a partir de los racionales (conjunto Q) gracias a las cortaduras de Dedekind, y luego tendríamos que I=R-Q. Así de simple.

Álto!!!, yo no he dicho esto, lo que dije es que cada uno de los conjuntos dados se puede considerar contenido en el siguiente, por ejemplo, el natural 5 al entero +5 al racional +5/1 al real +5,0, cuando escribimosw 5 puede representr a cualquiera de ellos...

Los número irracionales tienen este nombre, por un sencillo motivo escapan a al RAZÓN, no son nada sencillos, por ponerte un ejemplo aunque el número Pi era concocido desde los tiempos de pitágoras no fue hasta el Siglo XVIII cuando se consiguió demostrar que era un número irracional...decir que I=R-Q es muy sencillo simplemente los estas definiendo pero, no se tu yo no sabría...podrías encontrar algún nuevo número irracional de forma sencilla? Very Happy Arrow

SAludos Pere!

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MensajeTema: Re: El cuerpo de los números reales: R   Sáb 04 Abr 2009, 06:56

LaBaracA escribió:
Por partes:

Respecto a la introducción del 0 en Europa, he buscado en internet y me salen muchas respuestas todas distintas Very Happy Very Happy , pero parece claro que alrededor de los siglos IX, X u XI es cuando se introdujo aunque su conocimiento era muy antiguo he leido que apareció por primera vez en Babilonia en el año 2000 a. C., de todos modos es una cuestión menor...

Vamos a ver, hay que diferenciar 0 como cifra de 0 como símbolo "auxiliar". El cero siempre ha supuesto un problema, pero es obvio que si yo te debo 2 cabras y tú me las devuelves me quedo sin cabras. Pero fueron los indios quienes usaron el 0 con el sentido de "cifra", de "número". Por ejemplo los egipcios usanban un símbolo, parecido a una canoa, para representar el hecho de que "ya no queda nada", pero no tenía sentido para ellos sumar 0+4, por ejemplo. Para un indio sí; luego Al-Jwarismi copio esta técnica india para su libro, Hisab al yabr ua al muqabala, que ya mencione antes. Este libro y su autor cogieron gran popularidad en el mundo medieval; de hecho la palabra algoritmo y álgebra, ambras proceden de este señor, algoritmo de su propio nombre, Al-Jwarismi, y Algebra de Al-yabr, parte del título de la obra. Además en el siglo IX-X en europa occidental como que estaban demasiado preocupados matándose como para resolver éstas cuestiones, tuveron que ser tomadas por herencia.

Citación :

Con la teoría de conjuntos como dices el cero sería el primer número natural, aunque es cierto que algunos no lo incluyen, la información está sacada del libro base del temario de Matemáticas I de una Ingeniería Industrial, está escrito por 4 matemáticos y te aseguro que si no les incluyes el cero en los naturales, te van a crear problemas Very Happy Laughing Smile ...
Vamos a ver, todo maestrillo tiene su librillo. Un matemático puede tener su valoración u opinión personal. El estandar en matemáticas es la teoría de conjuntos, ya lo leiste en el otro tema sobre lógica. Luego que algún que otro matemático tenga una opinión distinta, pués es su opinión. Un matemático que esté más inclinado filosoficamente a la teoría de números como bases de las matemáticas que la teoría de conjuntos, pues no incluirá el 0 como número natural.

Citación :

Los número irracionales tienen este nombre, por un sencillo motivo escapan a al RAZÓN, no son nada sencillos, por ponerte un ejemplo aunque el número Pi era concocido desde los tiempos de pitágoras no fue hasta el Siglo XVIII cuando se consiguió demostrar que era un número irracional...decir que I=R-Q es muy sencillo simplemente los estas definiendo pero, no se tu yo no sabría...podrías encontrar algún nuevo número irracional de forma sencilla? Very Happy Arrow

Los numeros irracionales no se llaman así porque escapen a la "razón", sino porque escapan a la "racionalicación", es decir, no se pueden racionalizar, expresar como cociente de dos números enteros. Ahora, el conjunto Q se puede construir de manera sencilla, el conjunto R no tanto, pero una vez conseguido ambos, el conjunto I es la diferencia. Ahora, el conjunto R contiene muuuchos números, fitetu, es el primer transfinito de Cantor, así que imagínate si tiene números. Que se sepa construir R no significa que se tenga noción de todos los números que R contiene, pues todo transfinito es superior a la capacidad de manejo matemático. En realidad el "finitismo" de Hilbert también incluide a "infinitos ordenables" como el conjunto de los naturales, pues este tipo de conjuntos infinitos aún son manejables.

Ahora, si de R no se tiene conciencia de qué números contiene (y a esto si que se le puede decir que se escapa a al "razón"), de I=R-Q, estamos en las mismas, sabemos que le hemos quitado pero nó qué es lo que nos queda, pues las cortaduras de Dedekind en realidad son algo muy abstracto. Que se sepa como construir R e I no significa que se puedan conocer todos los números; ahora, es bien fácil que te den un número y se pueda adivinar qué tipo de número es.

Saludos.
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MensajeTema: Re: El cuerpo de los números reales: R   Sáb 04 Abr 2009, 18:13

En referencia a lo que he dicho antes, acabo de ver que fué Fibonacci quién introdujo el sistema de numeración arábiga (sistema decimal con cero incluido) en occidente. ¿Y dónde estudio Fibonacci?, en arabía. en el siglo XII.

Saludos.
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