Artefactos Intelectuales – El concepto de Límite matemáticoEn este artículo trataré de resumir la historia de una concepción abstracta de difícil comprensión que ha sido de gran utilidad para el desarrollo del cálculo infinitesimal, se trata del concepto de límite matemático.
En matemáticas, la palabra límite está asociada con la idea de aproximación entre números y el concepto de límite está estrechamente relacionado con la variación de los valores que toman las funciones o sucesiones.
Foto: La foto muestra la idea de aproximación, ya que las vías del tren parecen converger en un punto | Medjaï
Los límites son una herramienta que permiten estudiar el comportamiento de una función o sucesión al aproximarse a un punto dado. La definición rigurosa que utilizamos actualmente se debe a Cauchy y a Karl Weierstrass y es relativamente reciente, de principios del siglo XIX.
Se trata de un concepto maestro en el cálculo infinitesimal, un artefacto intelectual imprescindible para poder definir los conceptos fundamentales de convergencia, continuidad, derivación e integración, entre otros.
Las definiciones de límite para una función y para una sucesión son las siguientes:
Límite para una funciónLa función f:D → R tiene límite L en p si para todo épsilon > 0 existe un delta > 0 tal que x ϵ D y 0 < | x-p | ≤ delta garantiza | f(x)-L | ≤ épsilon
Límite para una sucesiónUna sucesión {an} tiene límite L si para todo épsilon > 0 existe un número natural N tal que |an-L | ≤ épsilon para todo n ≥ N
Han sido tres siglos los necesarios para llegar a estas definiciones desde que Jonh Wallis (1616-1703) formulase la que es aceptada como la primera en el siglo XVII. Él fue el primero que estableció claramente la noción de límite en la forma rigurosa hoy vigente, esto es, con la condición de que la diferencia entre la variable y el límite sea “quavis asignabilis minor”.
Foto: Retrato del gran matemático Inglés John Wallis | Sir Godfrey Kneller, Bt (died 1723)
Fue Augustin Louis Cauchy (1789-1848) quien puso los cimientos del análisis infinitesimal fundamentando el cálculo sobre el concepto de límite, siguiendo los criterios que ya apuntaron anteriormente John Wallis y James Gregory en el S.XVI I y ya en el siglo siguiente Jean Le Rond d’Alembert había incluído en la famosa enciclopedia francesa Encyclopédie una entrada para el concepto de Límite, que es definido como:
“Se dice que una cantidad es el límite de otra cantidad cuando la segunda puede aproximarse a la primera con una diferencia menor que cualquier cantidad dada, por pequeña que esta se pueda suponer, aunque la cantidad que se aproxima no pueda sobrepasar nunca la cantidad aproximada. (…) La teoría de límites –agregaba d’Alembert—es la base de la verdadera metafísica del cálculo diferencial.”
Foto: Portada de L'encyclopedie (1751) | Dominio Público
Habría que esperar hasta el año 1821 cuando apareció finalmente el famoso texto de Cauchy titulado Cours d’analyse algébrique, que refundaba la metodología matemática sobre bases conceptuales estrictamente rigurosas, en el ámbito del cálculo infinitesimal. En esta obra, el autor francés establecía cuidadosamente las nociones básicas del cálculo: función, límite, continuidad, derivada e integral. También distinguía allí entre las series infinitas sumables y las no sumables, es decir, entre series convergentes y divergentes.
En su obra Cauchy definía el límite de una función de la siguiente forma:
“Cuando los valores atribuidos sucesivamente a una variable se aproximan indefinidamente a un valor fijo para llegar por último a diferir de este valor en una cantidad tan pequeña como se desee, entonces dicho valor fijo recibe el nombre de límite de todos los demás valores.”
Foto: Retrato de Augustin Louis Cauchy | Dominio Público
Como se puede comprobar la definición no estaba totalmente pulida, tendrían que pasar aún unos treinta años para que el riguroso alemán Karl Weierstrass viniese a rematar la faena del delicado concepto de límite, con la ayuda de sus épsilon y delta, que no son más que números reales, muy pequeños y muy próximos a cero, y que tanto éxito le dieron.
La definición actual de límite como hemos podido comprobar, son el producto del esfuerzo combinado de grandes matemáticos, no hay que olvidar que ni siquiera Newton o Leibniz, considerados los padres del cálculo infinitesimal fueron capaces de intuirlo.
Conociendo la historia que hay detrás del concepto de límite vuelvo a él para irlo destripando poco a poco e intentar explicarlo lo más sencillamente que pueda, para ello me centraré en el límite de una función:
La función f:D → R tiene límite L en p si para todo épsilon > 0 existe un delta > 0 tal que x ϵ D y 0 < | x-p | ≤ delta garantiza | f(x)-L | ≤ épsilon
Foto: Visualización del concepto de límite para una función | User:HiTe
Una traducción a un lenguaje más literario:
La función f en los valores para los cuales la función está definida, es decir el dominio D, con imagen (los valores que puede llegar a tomar la función) en los números reales, tiende hacia el límite L en el punto p si para todo épsilon positivo que elijamos, existe algún delta positivo tal que, para todo equis perteneciente al dominio que cumple que el valor absoluto de equis menos el punto p está comprendido entre cero y delta, garantiza que el valor absoluto de f:D → R menos L es menor que épsilon.
Otro intento más explicando lo mismo de distinta manera:
La función f tiene límite L en un punto p cualquiera si para cualquier valor de épsilon que tomemos siempre que sea mayor que cero, en un entorno del límite, obtenemos un valor de delta mayor que cero en un entorno del punto p, tal que x pertenezca al dominio y el valor del módulo de x menos el punto p esté comprendió entre 0 y delta (es decir esté comprendido dentro del valor de delta) y que se garantice entonces que | f(x)-L | ≤ épsilon es decir el valor de la función en x menos el Límite será siempre menor o igual que el valor de épsilon escogido.
Un último intento más simplificado:
Una función f tiene límite L cuando x se acerca a p (x tiende a p), o en el punto x=p, cuando, al buscar la imagen inversa de un entorno de L, resulta ser uno de p o uno reducido de p (entorno sin el punto).
Ahora con un ejemplo podemos comprobar si para cualquier épsilon que tomemos dada una función, existe un delta que cumple con las condiciones que nos exige la definición de Límite.
Ejemplo:
Demostremos que, cuando x→2, lím (2x-1) = 3.
Aplicando la definición:
La función f:D → R tiene límite L en p si para todo épsilon > 0 existe un delta > 0 tal que x ϵ D y 0 < | x-p | ≤ delta garantiza | f(x)-L | ≤ épsilon
P = 2; f(x) = 2x-1; L=3
La función 2x-1 tiene límite 3 en 3 si para todo épsilon > 0 existe un delta > 0 tal que x pertenece al dominio de la función y 0 < | x - 2 | ≤ delta garantiza que | (2x-1) – 3 | ≤ épsilon
Desarrollando las siguientes operaciones:
| ( 2x - 1) – 3 | = | 2x – 4 | = 2 |x – 2 | ≤ épsilon
| x - 2 | ≤ delta
En este caso se observa claramente la relación existente entre épsilon y delta, épsilon es 2 veces mayor que delta o dicho al revés delta es la mitad de épsilon.
Es decir, se garantiza que:
Si 0 < | x - 2 | ≤ épsilon/2, entonces 2 |x – 2 | ≤ épsilon
Fuente:
L'Encyclopédie ou Dictionnaire raisonné des sciences, des arts et des métiers – Denis Diderot y Jean dÁlembert.
Cours D'analyse De L'école Royale Polytechnique. - Augustin-Louis Cauchy
Das Bertelsmann Bildungsbuch – Matemáticas
Matemáticas I – J.R. Vizmanos & M. Anzola
Fundamentos de Matemátias – Matemáticas I – Ana María Díaz Hernández, Luis Manuel Ruiz Virumbrales, Luis Tejero Escribano y Daniel Franco Leis