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 Artefactos Intelectuales – El concepto de Límite matemático

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MensajeTema: Artefactos Intelectuales – El concepto de Límite matemático   Mar 22 Sep 2009, 20:35

Artefactos Intelectuales – El concepto de Límite matemático

En este artículo trataré de resumir la historia de una concepción abstracta de difícil comprensión que ha sido de gran utilidad para el desarrollo del cálculo infinitesimal, se trata del concepto de límite matemático.
En matemáticas, la palabra límite está asociada con la idea de aproximación entre números y el concepto de límite está estrechamente relacionado con la variación de los valores que toman las funciones o sucesiones.



Foto: La foto muestra la idea de aproximación, ya que las vías del tren parecen converger en un punto | Medjaï

Los límites son una herramienta que permiten estudiar el comportamiento de una función o sucesión al aproximarse a un punto dado. La definición rigurosa que utilizamos actualmente se debe a Cauchy y a Karl Weierstrass y es relativamente reciente, de principios del siglo XIX.

Se trata de un concepto maestro en el cálculo infinitesimal, un artefacto intelectual imprescindible para poder definir los conceptos fundamentales de convergencia, continuidad, derivación e integración, entre otros.

Las definiciones de límite para una función y para una sucesión son las siguientes:

Límite para una función
La función f:D → R tiene límite L en p si para todo épsilon > 0 existe un delta > 0 tal que x ϵ D y 0 < | x-p | ≤ delta garantiza | f(x)-L | ≤ épsilon

Límite para una sucesión
Una sucesión {an} tiene límite L si para todo épsilon > 0 existe un número natural N tal que |an-L | ≤ épsilon para todo n ≥ N

Han sido tres siglos los necesarios para llegar a estas definiciones desde que Jonh Wallis (1616-1703) formulase la que es aceptada como la primera en el siglo XVII. Él fue el primero que estableció claramente la noción de límite en la forma rigurosa hoy vigente, esto es, con la condición de que la diferencia entre la variable y el límite sea “quavis asignabilis minor”.



Foto: Retrato del gran matemático Inglés John Wallis | Sir Godfrey Kneller, Bt (died 1723)

Fue Augustin Louis Cauchy (1789-1848) quien puso los cimientos del análisis infinitesimal fundamentando el cálculo sobre el concepto de límite, siguiendo los criterios que ya apuntaron anteriormente John Wallis y James Gregory en el S.XVI I y ya en el siglo siguiente Jean Le Rond d’Alembert había incluído en la famosa enciclopedia francesa Encyclopédie una entrada para el concepto de Límite, que es definido como:

“Se dice que una cantidad es el límite de otra cantidad cuando la segunda puede aproximarse a la primera con una diferencia menor que cualquier cantidad dada, por pequeña que esta se pueda suponer, aunque la cantidad que se aproxima no pueda sobrepasar nunca la cantidad aproximada. (…) La teoría de límites –agregaba d’Alembert—es la base de la verdadera metafísica del cálculo diferencial.”



Foto: Portada de L'encyclopedie (1751) | Dominio Público

Habría que esperar hasta el año 1821 cuando apareció finalmente el famoso texto de Cauchy titulado Cours d’analyse algébrique, que refundaba la metodología matemática sobre bases conceptuales estrictamente rigurosas, en el ámbito del cálculo infinitesimal. En esta obra, el autor francés establecía cuidadosamente las nociones básicas del cálculo: función, límite, continuidad, derivada e integral. También distinguía allí entre las series infinitas sumables y las no sumables, es decir, entre series convergentes y divergentes.

En su obra Cauchy definía el límite de una función de la siguiente forma:

“Cuando los valores atribuidos sucesivamente a una variable se aproximan indefinidamente a un valor fijo para llegar por último a diferir de este valor en una cantidad tan pequeña como se desee, entonces dicho valor fijo recibe el nombre de límite de todos los demás valores.”



Foto: Retrato de Augustin Louis Cauchy | Dominio Público

Como se puede comprobar la definición no estaba totalmente pulida, tendrían que pasar aún unos treinta años para que el riguroso alemán Karl Weierstrass viniese a rematar la faena del delicado concepto de límite, con la ayuda de sus épsilon y delta, que no son más que números reales, muy pequeños y muy próximos a cero, y que tanto éxito le dieron.

La definición actual de límite como hemos podido comprobar, son el producto del esfuerzo combinado de grandes matemáticos, no hay que olvidar que ni siquiera Newton o Leibniz, considerados los padres del cálculo infinitesimal fueron capaces de intuirlo.

Conociendo la historia que hay detrás del concepto de límite vuelvo a él para irlo destripando poco a poco e intentar explicarlo lo más sencillamente que pueda, para ello me centraré en el límite de una función:

La función f:D → R tiene límite L en p si para todo épsilon > 0 existe un delta > 0 tal que x ϵ D y 0 < | x-p | ≤ delta garantiza | f(x)-L | ≤ épsilon



Foto: Visualización del concepto de límite para una función | User:HiTe

Una traducción a un lenguaje más literario:

La función f en los valores para los cuales la función está definida, es decir el dominio D, con imagen (los valores que puede llegar a tomar la función) en los números reales, tiende hacia el límite L en el punto p si para todo épsilon positivo que elijamos, existe algún delta positivo tal que, para todo equis perteneciente al dominio que cumple que el valor absoluto de equis menos el punto p está comprendido entre cero y delta, garantiza que el valor absoluto de f:D → R menos L es menor que épsilon.

Otro intento más explicando lo mismo de distinta manera:

La función f tiene límite L en un punto p cualquiera si para cualquier valor de épsilon que tomemos siempre que sea mayor que cero, en un entorno del límite, obtenemos un valor de delta mayor que cero en un entorno del punto p, tal que x pertenezca al dominio y el valor del módulo de x menos el punto p esté comprendió entre 0 y delta (es decir esté comprendido dentro del valor de delta) y que se garantice entonces que | f(x)-L | ≤ épsilon es decir el valor de la función en x menos el Límite será siempre menor o igual que el valor de épsilon escogido.

Un último intento más simplificado:

Una función f tiene límite L cuando x se acerca a p (x tiende a p), o en el punto x=p, cuando, al buscar la imagen inversa de un entorno de L, resulta ser uno de p o uno reducido de p (entorno sin el punto).
Ahora con un ejemplo podemos comprobar si para cualquier épsilon que tomemos dada una función, existe un delta que cumple con las condiciones que nos exige la definición de Límite.

Ejemplo:

Demostremos que, cuando x→2, lím (2x-1) = 3.

Aplicando la definición:

La función f:D → R tiene límite L en p si para todo épsilon > 0 existe un delta > 0 tal que x ϵ D y 0 < | x-p | ≤ delta garantiza | f(x)-L | ≤ épsilon

P = 2; f(x) = 2x-1; L=3

La función 2x-1 tiene límite 3 en 3 si para todo épsilon > 0 existe un delta > 0 tal que x pertenece al dominio de la función y 0 < | x - 2 | ≤ delta garantiza que | (2x-1) – 3 | ≤ épsilon

Desarrollando las siguientes operaciones:

| ( 2x - 1) – 3 | = | 2x – 4 | = 2 |x – 2 | ≤ épsilon

| x - 2 | ≤ delta

En este caso se observa claramente la relación existente entre épsilon y delta, épsilon es 2 veces mayor que delta o dicho al revés delta es la mitad de épsilon.

Es decir, se garantiza que:

Si 0 < | x - 2 | ≤ épsilon/2, entonces 2 |x – 2 | ≤ épsilon

Fuente:

L'Encyclopédie ou Dictionnaire raisonné des sciences, des arts et des métiers – Denis Diderot y Jean dÁlembert.
Cours D'analyse De L'école Royale Polytechnique. - Augustin-Louis Cauchy
Das Bertelsmann Bildungsbuch – Matemáticas
Matemáticas I – J.R. Vizmanos & M. Anzola
Fundamentos de Matemátias – Matemáticas I – Ana María Díaz Hernández, Luis Manuel Ruiz Virumbrales, Luis Tejero Escribano y Daniel Franco Leis

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MensajeTema: Re: Artefactos Intelectuales – El concepto de Límite matemático   Miér 23 Sep 2009, 02:05

Muy bueno, aunque d'Alambert exageraba un poco no?xD
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MensajeTema: Re: Artefactos Intelectuales – El concepto de Límite matemático   Miér 23 Sep 2009, 18:10

Bueno hay que tener en cuenta que d’Alembert era filósofo, pero lo cierto es que este concepto de límite permitió el desarrollo del cálculo infinitesimal como nunca antes se había podido, y del que nos beneficiamos hoy en día, se trata de un Artefacto fílosófico-matemático...

Saludos!

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MensajeTema: Re: Artefactos Intelectuales – El concepto de Límite matemático   Jue 24 Sep 2009, 11:18

Es un artefacto matemático..., bien distinto es qué uso filosófico, o que interpretación filosófica se le dé, pero todo concepto puede tener mil interpretaciones, por ello la filosofía nunca llega a ninguna parte. Su única utilidad es que te ayuda a definir muy bien conceptos por muy poco tangibles que sean, pero la filosofía nunca llega a ninguna conclusión. El concepto de límite no puede recibir la categoría de "artefacto filosófico" porque no te ayuda a filosofar "mejor".

Además, d'Alambert es del siglo XVIII, quizás por aquel entonces la filosofía y la ciencia estaban muy ligadas aún (al estilo griego) y por ello no se diferenciaban los conceptos de la forma adecuada, y además, la lógica aún pertenecía al campo de la filosofía, por ello todo concepto matemático de cierta complejidad abstracta, también.

Hoy en día seguro que ningún matemático acudiría al concepto de límite en términos filosóficos.

Saludos.
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MensajeTema: Re: Artefactos Intelectuales – El concepto de Límite matemático   Jue 24 Sep 2009, 18:15

Parece muy vehemente lo que dices...pero con los límites aparece el concepto de infinito que desde luego a los matemáticos les crea muchos problemas, sobre todo cuando surgen indeterminaciones, conceptos muy filosóficos y utilizando la palabra que decía d'Alambert, muy metafísicos, van más alla de la física....

Por otro lado creo que deberías repensar esta frase:

todo concepto puede tener mil interpretaciones, por ello la filosofía nunca llega a ninguna parte

más de 100.000 años transcurrieron hasta que el primer homo sapiens, posiblemente Griego, se hizo la pregunta ¿Qué soy?, quizás lo importante no es la respuesta sino el haber logrado formular esa pregunta...

Saludos!

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MensajeTema: Re: Artefactos Intelectuales – El concepto de Límite matemático   Jue 24 Sep 2009, 19:30

Y la lógica matemática del siglo XIX llegó a la deducción de que había que quitar la interpretación de todos los razonamientos.

¿Qué criterio da más o menos importancia a una pregunta formulada?

Yo no quiero desacreditar a la filosofía, tiene su labor didáctica como cualquier otro tipo de sabiduría honesta, pero la filosofía no llega a ninguna conclusión irremovible, su interés radica en otros aspectos, sobre todo en cuestión de dar definiciones y aclarar qué se entiende en cada término que se usa. Yo con la filosofía también he aprendido a ser más prudente en muchos aspectos, sobre todo con lo que se dice. Solo afirmo que con la filosofía no se da solución real a ningún problema planteado.

Ya lo dijo Kant (creo), que la metafísica lleva 1.000 años dandole vueltas a un mismo punto sin avanzar ni un solo paso. Y también lo dijo Wittgenstein: "Lo único que le queda a la filosofía es el análisis del lenguaje". Los propios filósofos se han dado cuenta de la quimera de su labor a gran escala.

Saludos.
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