Metamatemática, lógica formal y matemática

A la hora de afrontar un problema todos podemos o creemos tener capacidad de resolverlo tras una cuidada reflexión sobre dicha cuestión a resolver. Por otro lado, nos cuesta pensar que existan hechos que se escapen a las capacidades psicológicas del ser humano. No podemos concebir que haya fenómenos que sean física o biológicamente imposibles de entender para el ser humano; para nosotros no puede existir más verdad que la premisa y la consecuencia, y de ese modo creemos que, si nos paramos el suficiente tiempo para preparar correctamente nuestra deducción y sus principios, el ser humano podrá alcanzar cualquier sabiduría. Y esta capacidad deductiva la usamos intuitivamente, nos ponemos a deducir sin conciencia de qué estamos haciendo en concreto cuando deducimos: deducimos, llegamos a una conclusión, y listo.

Este criterio fué el que usó el matemático durante siglos. Cuando se enfrentaba a un problema matemático, ponía sobre la mesa las cosas que se sabían (o ellos creían saber) correctas, y se ponía a deducir a partir de ellas en busca de la afirmación a demostrar. Luego otros matemáticos, usando su mismo criterio intuitivo de deducción, examinaban las demostraciones de sus compañeros en busca de posibles errores, usando el mismo método que los primeros: la simple exploración visual de los pasos deductivos. Así lo hicieron los antiguos griegos. Como ejemplo, Euclides de Megara publicó un libro llamado "Elementos" que, partiendo de 5 axiomas (hechos tan obvios y evidentes que no se pueden cuestionar, como que el todo es mayor que la parte), 5 postulados (axiomas no tan evidentes), y una treintena de definiciones, demostró en 13 volumenes a partir de dichos axiomas, postulados y definiciones todo o casi todo el conocimiento matemático conocido en grecia. Toda una proeza para la época. Pero a medida que los hechos matemáticos se hacían más profundos y las interpretaciones de los hechos matemáticos más confusas y delicadas, se dieron cuenta los matemáticos que la deducción a ojo no bastaba. Hoy se sabe que el todo no es mayor que la parte en todos los casos, por ejemplo.

Cantor casi llegó a la locura cuando intentó demostrar la llama hipótesis del continuo: ¿existe algún conjunto infinito más grande que el de los números naturales y más chico que el de los reales (también llamado conjunto de los números continuos)?. Mágicamente, Cantor encontró que, según interpretará de una forma u otra el concepto de conjunto, la hipótesis resultaba cierta o falsa. Con esto vemos que el problema residía en la interpretación de los conceptos matemáticos, que a partir de cierto nivel de abstracción, los razonamientos hechos sobre ellos burlaban con facilidad el ojo y el criterio matemático. Quizás cabría cuestionarse si realmente merece la pena rehacer toda la estructura de razonamiento matemático debido a unos cuantos problemas, cuando quizás bastaría con no preocuparse por ellos. El problema es que problemas de este tipo aparecen en muchas ocasiones en la matemática, y algunos de ellos son problemas troncales que no se pueden dejar de lado; con esto hace falta pararse y contruir un sistema matemático que olvide en su trabajo la interpretación de los símbolos matemáticos.


Si el problema es la interpretación de los conceptos matemáticos, la solución es hacer matemáticas sin usar interpretaciones sino con un estricto uso de símbolos y transformaciones con ellos. Aquí es dónde se hace evidente la labor del lógico. El lógico debe establecer qué es un razonamiento correcto. Luego establecerá un sistema axiomático: conjunto de axiomas y reglas de deducción. El matemático usará la base propuesta por el lógico para demostrar las cuestiones propuestas. Con esto, la matemática nunca posee verdades absolutas, sino dependientes de los axiomas propuestos por el lógico. La matemática se comporta pues como un cielo lleno de globos: cada aire de cada globo contiene todas las certezas matemáticas que "caben" en dicho globo, siendo el latex que conforma al globo el sistema axiomático establecido. Si el lógico cambia un axioma o una regla de deducción, se forma un nuevo sistema axiomático y un nuevo matemático demostrará todas los hechos que caben en él: se pondrá un nuevo globo en el cielo. Obviamente, los matemáticos no perderán el tiempo en trabajar en cualquier globo: hay que saber qué globos son los "mejores", o los que más proximidad tienen con lo que entendemos por hacer matemática, puesto que con estos principios se pueden colocar globos absurdos que no valen para nada si los axiomas y reglas deductivas que se establezcan son vacuas.

Cantor, con su teoría de conjuntos, estableció un sistema que pudiera contener a toda la matemática, ya que opinaba que cualquier objeto matemático podría tratarse como conjunto. Esto de lejos formaba un sistema lógico ni un medio para crearlo, sino simplemente una teoría matemática más ambiciosa que todas las anteriores. En concreto, se podía crear cualquier conjunto con más que decir qué propiedad era común a todos sus elementos. Por ejemplo, el conjunto P es el de todos los números pares. Russell pronto encontró un conjunto que ponía en tela de juicio esta concepción: el conjunto K de todos los conjuntos que no se pertenecen a sí mismo. Es decir, cojo un conjunto, miro su contenido, y si él no está en su propio contenido (que es lo más lógico parece: tu no te puedes pertenecer a tí mismo), se incluye en el conjunto K. ¿Estará el conjunto K en K?. Si K no está en K, por definición, debería estar. Si K está en K, por definición, no debería estarlo. Ese conjunto es imposible, no puede construirse.

Frege, ya por fin, creó el primer sistema lógico en condiciones al que dedicó casi toda su vida: un sistema formal (esto es, con el uso estricto de símbolos) que según él, cualquier proposición podría demostrarse o negarse en dicho sistema (según la afirmación fuera cierta o falsa, claro). Pero Russell pronto se ocupó también de Frege y mostró que la contradicción presente con el conjunto K también existía en el sistema de Frege, y a partir de él, se podía demostrar de manera positiva y negativa cualquier hecho (es decir, que en el sistema de Frege, todos los enunciados era ciertos y falsos a la vez), lo cuál convertía el trabajo al que Frege dedicó toda su vida en una quimera. Luego Russell y Whitehead crearon un nuevo sistema lógico para soslayar con no mucho éxito los problemas del sistema de Frege, y además de una terrible complejidad lógica. Con el tiempo ya por fin se fueron estableciendo nuevas partes de la lógica, se crearon los sistemas axiomáticos de Zermerlo-Fraenkel (sistema ZF) y Neumann-Bernays-Godel (sistema NBG), Gödel también estableció las capacidades de deducción lógica y algunas propiedades de los sistemas lógicos y axiomáticos de caracter general, y con estas bases, hasta donde se sabe, los sistemas matemáticos ZF y NBG están exentas de contradicciones, y en ellas se puede desarrollar todo el contenido matemático actual. Por estos motivos, la matemática hoy en día se puede considerar una rama de la lógica, aunque como disciplina, por su inmenso contenido, constituye una academia aparte y obviamente un matemático no se considera lógico, ni un lógico matemático.

Si proponemos el clásico y famoso enunciado: "Los atenienses siempre mienten", y el que escribe este enunciado es ateniense, podemos confundirnos y pensar que esa afirmación de por sí constituye una contradicción: si el enunciado es cierto, sería mentira pues el que escribe es ateniense y siempre miente; si el enunciado fuera falso, el ateniense estaría diciendo la verdad, entonces él sería mentiroso según su propia afirmación. Se llega a una contradicción en ambos casos. Pero sin embargo, cuando se estudia un enunciado, se centra uno en su enunciado en sí, y la esa afirmación podría ser cierta o falsa pues no tenemos medios de evaluarla. La información externa que sepamos sobre el enunciado contituye el llamado metalenguaje.

En este punto, si queremos encontrar la manera correcta de razonar, debemos de hacer un estudio externo de lo que supone una demostración. Esto es lo que llamamos metamatemática. Obviamente debemos de razonar sobre la forma de razonar, y ese primer razonamiento no puede seguir los propios patrones que se intenta establecer, pues aún no los he establecido. Esto puede incurrir a error: hay personas que niegan completamente cualquier razonamiento que no sea estricto desde un origen. Este tipo de personas responden a la categoría de formalista radical; para ellos todo debe estar formalizado, incluido el razonamiento sobre el razonamiento. Como esto no es posible, niegan completamente cualquier tipo de conocimiento.

David Hilbert propuso la solución a este problema. Estableció que cualquier razonamiento que involucrara un ámbito finito podía conocerse con corrección si se examinaba punto por punto toda la naturaleza del problema en cuestión. Es decir, que usando argumentos finitistas (que no involucren al concepto de infinito) se podían establecer las bases del razonamiento sin miedo al extravío usando la intuición deductiva que se nombró al principio del artículo. Si nos fijamos, en los problemas expuestos anteriormente de los axiomas de Euclides o de Cantor, todos estaban relacionados también con el concepto de infinito.

Una vez establecido un punto de partida finitista metamatemático; que yo llamaría más bien metalógico, pués la lógica fundamenta la matemática, y la metamatemática fundamenta a la lógica; podemos establecer lo que entendemos por bases del razonamiento. La lógica se encarga de establecer lo que se entiende por deducción formal, estudiar técnicas de deducción o estudiar las bases más generales sobre los sistemas axiomáticos, así como establecer las limitaciones y capacidades del razonamiento. Por ejemplo, Gödel demostró que, dado cualquier sistema formal lo suficientemente fuerte como para fundamentar, al menos, a la aritmética, existen ciertas proposiciones que no se pueden ni demostrar ni falsar en dicho sistema.

La lógica se encarga también de fundamentar lo que significa un lenguaje formal. Así, se establece lo que significa un lenguaje formal de primer orden o uno de segundo orden, así como otros tipos de lógica: lógica difusa, lógica modal, etc. Quizás muchos conozcan la lógica proposicional, o aristotélica, esto es, el lenguaje formal lógico que propuso Aristóteles. Consistía en convertir las afirmaciones a símbolos, y luego hacer deducciones sobre ellos. Sólo soportaba afirmaciones del tipo "si como entonces sobrevivo, y he comido, entonces sobreviviré", pero no afirmaciones de la forma, "todos los hombres son mortales, y yo soy un hombre, en conclusión, soy mortal", pues la lógica aristotélica sólo entiende de afirmaciones generales y no afirmaciones sobre individuos con respecto a una población. Este último concepto de lenguaje fué el que acuño Frege, al que luego se le añadió otro lenguaje nuevo: el lenguaje formal de segundo orden. La diferencia entre un lenguaje de segundo orden y uno de primer orden, es que un lenguaje de primer orden sólo permite hablar de elementos en concreto, es decir, hablar de mí, de pepe, de juan, o de cualquier persona tomada como constante. Sin embargo en un lenguaje de segundo orden permite hablar de individuos que cumplan alguna propiedad sobre una población, por ejemplo "para todo hombre que sea estudiante, las pasará canutas en Junio". Aunque está demostrado que un lenguaje de primer orden tiene la misma capacidad expresiva que uno de segundo orden (aunque ciertos cálculos lógicos se efectúan con mayor simplicidad en un lenguaje de segundo orden); con esto, podemos decir que el lenguaje aristotélico corresponde un lenguaje de orden cero cuando se formaliza al completo.

En definitiva, un lógico intenta esclarecer qué es un razonamiento de forma formal y que, al razonar, se haga simbólicamente el mismo proceso que hacemos mentalmente, es decir, que los símbolos hagan por nosotros lo que nosotros deberíamos hacer con la mente y de la misma forma, para, a continuación, a partir de argumentos finististas usar los símbolos para evitar el extravío deductivo cuando nos enfretamos a argumentos más audaces.


La lógica matemática, en definitiva, usa los fundamentos de la lógica para establecer las bases matemáticas. La teoría axiomática de conjuntos de Zermelo-Fraenkel y la de Newmann-Bernays-Gödell son las dos teorías lógicas que hoy día fundamentan la matemática. Obviamente existen más, como la naciente teoría de categorías, que pretende fundamentar la matemática con el mismo éxito que tiene la teoría de conjuntos, profetizándo nuevos y mejores tiempos. La teoría de categorías ante la teoría de conjuntos es a la matemática lo que la teoría de cuerdas ante la teoría estandar es a la física, es decir, los auspicios de nuevos tiempos.

Pero la lógica matemática no sólo se ocupa de estudiar las bases de la matemática, sino también estudiar hechos concernientes a la matemática desde el plano de vista lógico. Existe entre ellas la teoría de modelos, que formaliza lo que entendemos por interpretación semántica (significado) de los razonamientos o la teoría de la recursión y en general la lógica computacional, que formaliza las capacidades mecánicas de los razonamientos y el cálculo en general, esto es, hasta que punto los algoritmos pueden resuelven problemas. También es importante señalar aquí la labor de Turing, que formalizó el concepto de algoritmo (en realidad no lo formalizó, sino que estableció un modelo de cálculo que se considera su formalización) y demostró teoremas esenciales sobre las capacidades de la computación, como por ejemplo la existencia del sistema operativo con su concepto de máquina universal. Así, se pueden establecer distintas subdisciplinas de la lógica matemática según el propósito que persigan.